Logica Matematica.Conjuntos,Numeros Reales.

 LÓGICA MATEMÁTICAS

LOGICA:

Método o razonamiento en el que las ideas o la sucesión de los hechos se manifiestan o se desarrollan de forma coherente y sin que haya contradicciones entre ellas. 

PROPOSICION 

Una proposición es una unidad semántica que, o sólo es verdadera o sólo es falsa.La     proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática; se puede expresar

 en oraciones.

ORACIONES QUE SI SON PROPOSICIONES:

1)Oraciones afirmativas. 

  Yo me llamo felipe (Informan). 

2)Oraciones descriptivas. 

Mi perro es color blanco(Describen). 

3)Oraciones explicativas. 

Si hoy es lunes mañana sera martes (Explican). 

ORACIONES QUE NO SON PROPOSICIONES:

¡Auxilio, me ahogo! ORACION EXCLAMATIVA

No hables en clase ORACION IMPERATIVA

¿Qué día es hoy? ORACION INTERROGATIVA

No sé si vendrán al viaje. ORACION DESIDERATIVAS

VALOR DE VERDAD

El valor de verdad de una proposición es la cualidad de veracidad que describe adecuadamente la proposición. Este puede ser verdadero o falso..

CUANDO ES VERDAD:

1 - V - T - TRUE

a: Los dias de la semana son 7      ⬌       1

b: yo me llamo Felipe Rosero         ⬌       1

CUANDO ES FALSO:

0 - 1 - F - FALSE            

a: 10 > 9                                        ⬌        1

b: 5 es un numero par                  ⬌         1

TABLA DE VERDAD

Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es unatabla que muestra el valor 

de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de verdad que se pueda asignar.

OPERADORES LOGICOS.

Son símbolos que se usan para comparar dos valores. Si el resultado de la comparaci
ón es correcto la expresión considerada es verdadera, en caso contrario es falsa.
Por ejemplo, 8>4,

EJEMPLO.

1. No te encontre en el cine
2. Fui a la uniersidad y la biblioteca estaba cerrada
3. Tienes el cabello largo o pequeño
4. Si me voy a quito entonces te llevo 
5. Paso el pre si y solo si estudio mucho

NEGACION.(-)

Este operador cambia el valor de verdad de una proposicion, si una proposicion es

verdadera su negaion va ser falsa lo mismo en sentido contrario.

EJEMPLO.

CONJUNCIÓN (^)

se presenta con los términos gramaticales: “y”, “pero”, “más”, “también”, 

“sin embargo”, “además” y signos de puntuacion como: la coma, el punto 

y el punto y como.

     Es verdad cuando p= ^ ,   q= ^   p^q= ^

a: Me voy a milagro 

b: luego a bucay 

a^b: Me voy a milagro y luego a bucay 

 DISYUNCIÓN  (V)

Se presenta con el termino gramatical (o) como ejemplo es:                                         

 Es falso cuando  p= F  ,   q= F    p v q= F     

a: Hoy es viernes 

b:Domingo

a v b: Hoy es lunes o  domingo

CONDICIONAL (➜)

Viene a ser la combinación de dos proposiciones con “si… entonces”. Se lee si

  p entonces q.

   Es falsa cuando,  p=V   ,   q=F    P➜Q= F

a: Si estudio mucho 

b: pasare a semestre

a ➜ b: Si estudio mucho entonces pasare a semestre 

BICONDICIONAL.⬌

Se denomina doble inplicacion, se utiliza con el termino gramaticas (si y solo si).

Es verdad cuando p=V   ,  q=V    P ⬌ q=V

                                  p=F   ,    q=F    P ⬌ q=F

a: Es 4

b: Sumados 2 mas 2 

a ⬌ b: Es 4 si y solo si sumados 2 mas 2

a: Puedes tomar el vuelo

b: Compras un pasaje 

a ⬌ b: Puedes tomar el vuelo si, y solo si, compras un pasaje,

 CLASES DE PROPOSICIONES.

Las proposiciones se clasifican en:  

•     Proposicion simple 
•     Proposicion compuesta 

PROPOSICION SIMPLE.
Son aquellas que no tienen oraciones componentes afectadas por negaci
ones ("no") o términos de enlace como conjunciones ("y"), disyunciones 
("o").

  EJEMPLO:

    1)  Lisbeth roxana es una pintora                         (Simple)
    2)  El 14 y el 7 son factores de                            (Simple)
    3)  El 2 o el 3 son divisores de 48.                       (Simple) 

      PROPOSICIÓN COMPUESTA
         Es una frase que consta de uno o varios sujetos y de un predicado que afirma
        al entorno a dichos sujetos, es decir esta comformado por 2 o mas P.simples.
        EJEMPLO:
        1) Sen(x) no es un número mayor que 1.                        (Compuesta)
        2) El 14 es factor del 42 y el 7 también es factor del 42. (Compuesta)
        3) El 2 es divisor de 48 o el 3 es divisor de 48.                (Compuesta)

EJERCICIO GENERAL

P. TAUTOLOGIA

P.CONTRADICCION

P.CONTINGENCIA

    

Que es conjunto    

Un conjunto es la agrupación de objetos que encuentran relacionados o poseen una racterística comun.

Notacion de un conjunto:

•          Los conjuntos se escriben entre llaves {  }
•          Denota mediante letras mayúscula.
•          Sus elementos se separan mediante coma
• 
  
• 

DETERMINACION DE UN CONJUNTO
Las formas de determinar un conjunto son:

•          Por Extensión  y tabulacion
•          Por Comprensión
•          Diagrama de Venn

POR EXTENCION O TABULACION:
se hace una lista de los elementos que componen el 
conjunto. Considere en nombrar todos y cada uno de sus elementos.

Ejemplos:

POR COMPRENSION:

Una propiedad común a todos los elementos que permita distinguir cuales pertenecen
y no pertenecen al conjunto.Consiste en dar una propiedad que sea cumplida por todo
s los elementos del conjunto y solo por ellos.                                                   
Ejemplo:

El conjunto esta compuesto por todos los numeros naturales mayores que 5.

NOTACION:B={ x/x ∈ N / x > 5 }

DIAGRAMA DE VENN
Consistente en dos o más áreas circulares que representan  conjuntos  de elementos que 
tienen una característica común,que se interseccionan representar conjuntos de manera 
gráfica mediante dibujos 

Ejemplo:

CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO
Es la cantidad de elementos de un conjunto A. Se denota por el símbolo N(A).
Ejemplo:                                                                                                                  

A= {lunes, Martes. Miercoles, Jueves, Viernes}
su cardinal
 N (A) =5

Si en casa de que se repita un elemento, siempre será contado por uno.

TIPOS DE CONJUNTOS

·         Conjunto Vacío

·         Conjunto Unitario

·         Conjunto Finito

·         Conjunto Infinito

·         Conjunto Universo o Referencial

CONJUNTO VACÍO:

Es un conjunto que no tiene elementos, también se le llama conjunto nulo. Generalmente 

se le representa por los símbolos:  f o {  }

 O A = {  }  se lee: “A es el conjunto vacío”  o “A es el conjunto nulo

CONJUNTO UNITARIO

 El conjunto unitario es aquel que posee solamente un elemento. 

Ejemplos:

 El conjunto de números naturales mayores de 8 y menores de 10:

C = { 9 }

El único elemento es el número 9.

CONJUNTO FINITO
Un conjunto es finito, cuando posee un comienzo y un final, en otras palabras, 
es cuando los elementos del conjunto se pueden determinar o contar.

Ejemplos:

         Conjunto de números pares entre 10 y 40:

R = { 10,12,14,16,18,20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40 }

CONJUNTO INFINITO

El conjunto es infinito, cuando posee un inicio pero no tiene fin. Es decir, que la cantidad 
de elementos que conforman el conjunto no se puede determinar.
Ejemplo:

• El conjunto de los números naturales:

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,...}

CONJUNTO UNIVERSAL O REFERENCIAL

 Es el que contiene todos los elementos que deseen considerarse en un problema,

discurso o tema, sin pretender contener todo lo que no interesa al problema. 

Ejemplo:

A={x/x es letra de las palabras ecuador }

A={ e,c,u,a,d,o,r}

RELACION Y FUNCIONES

se trata de la correspondencia que existe entre dos conjuntos: a cada elemento del primer conjunto le corresponde al menos un elemento del segundo conjunto.

PRODUCTO CARTESIANO

De dos conjuntos es una operación, que resulta en otro conjunto,

cuyos elementos son todos los pares ordenados.

EJEMPLO:

                               CONJUNTO A={a,e,i}  y  B={1,2,3}        N(AxB)={N(A)} {N(B)}

                               AXB={x,y/xEA y xEB}                                   (3)     x      (3)= 9

                                AxB={(a,1),(a,2),(a,3)}

                                           (e,1),(e,2),(e,3)

                                             (i,1).(i,2),(i,3)

                  Se multiplican los elementos tanto de A y B

            GRAFICO CARTESIANO

        DOS CONJUNTOS RELACIONADOS

•En una relación binaria intervienen dos conjuntos, el primero se 

 llama «conjunto de partida» y el segundo «conjunto de llegada».

       DOMINIO:

          Es un subconjunto del conjunto de partida, formado por los elementos 

          que están relacionado, el dominio siempre a ser el conjunto de partida.

       RANGO:

          es un subconjunto del conjunto de llegada, formado por los elementos que 

          están relacionados,siempre va a estar en el conjunto de llegada.

       REGLA DE CORRESPONDENCIA

Es una expresión que permite establecer una relación entre elementos 

de los conjuntos. Algunos ejemplos son:

 «es múltiplo de»

 «trabaja en»

 «es de nacionalidad»

 «a+b=12»

 «y = x-3»

RELACION

Sean A y B conjuntos. Un subconjunto R del producto cartesiano A × B se 

llama una relaci´on de A en B. Es decir R es una relaci´on de A en B si R ∈

P(A × B).

EJERCICIO GENERAL

         Estudiemos el siguiente ejemplo: José, Ana y Luis tienen preferencia 
         por Matemática; Ana, Raúl y Silvia tienen preferencia por Biología y Luis,
         Carlos y Pedro tienen preferencia por Lenguaje e Historia; Omar no tiene
         preferencia por ninguna materia.

A={jose,ana,luis,raul,silia,carlos.pedro.omar}

B={matematica,biologia,lenguaje,historia}

 N(AxB)={N(A)} {N(B)}

                  8         4

AxB={(JM); (A,M); (A,B); (LM); (LL); (LH); (RB); (SB); (CL); (CH); (PL); (PH)}.

                   REPRESENTACION GRAFICA 

             DIAGRAMA SAGITAL:   

conjunto R

DOMINIO.{ J,A,L,R,S,C,P}

RANGO:{ M,B,L,H}

REPRSENTACION GRAFICA

AxB={(JM); (A,M); (A,B); (LM); (LL); (LH); (RB); (SB); (CL); (CH); (PL); (PH)}.

        FUNCIONES

            De otra si el valor de la primera depende del valor de la segunda.

            Una relación debe cumplir 2 condiciones para ser función

 Todo elemento del conjunto de partida X debe tener imagen.

 Esta imagen debe ser única.

            Toda función es relación, pero no toda relación es función.

            Si es funcion:

           No es funcion:

                              

TIPOS  DE  FUNCIONES

       INYECTIVA:

Decimos que la aplicación

Es inyectiva si las imágenes de elementos distintos del dominio son distintas.

Dicho matemáticamente,

x={ 1,2,3}  y={ D,B,C,A}

f={(1,D),(2,B).(3,A)

SOBREYECTIVA:

Decimos que la aplicación

Es sobreyectiva (o suprayectiva) si todo elemento del codominio tiene anti-imagen. Es decir,

Sean los conjuntos x={1,2,3,4}  y={D.B.C}

f={(1,D).(2,B).(3,C),(4,C)}

BIYECTIVA:

Decimos que la función

Es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

La función del ejemplo anterior,

x={1,2,3,4}    y={D,B,C,A}

f={(1.D),(2.B),(3,C),(4,A)}

RELACION Y OPERACION ENTRE CONJUNTOS 

CUANTIFICADORES

Existen tres tipos de expresiones son:

Verdadera     10=10

Falsa             9=12 

Abierta           5x>4 

Algo muy importante las expresiones abiertas pueden variar pueden ser erdaderas o
falsa.

CUANTIFIADOR UNIVERSAL ➜∀

se utiliza para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen

con una determinada propiedad Ejemplo.

                                                     ∀x, 2x+3x = 5x 

x=0                                                 2(0)+3(0)=5(0)

x=1                                                   0     + 0 =    0  

                                                              0      =    0

cuantificador existencial ➜∃

Se usa para indiar que hay uno o mas elementos en el conjunto 

A(no necesariamente unicos) 

que cumplen una determinada propiedad se escribe.

∃x, 5x+2 = 4

5(1) +2=4

     5+2=4

X=1                                                                    7=4   Es falso 

SUBCONJUNTO ➔⊆      

Un subconjunto se da cuando todos los elementos de un conjunto pertenece al otro.

Un conjunto de B es SUBCONJUNTO de un conjunto,A si B esta contenido dentro 
de A.Por ejemplo, el conjunto de frutas rojas y el conjunto de frutas amarillas 

subconjuntos del conjunto de frutas, puesto que todas las frutas rojas son frutas
, y todas las frutas amarillas son frutas también:

SUBCONJUNTO PROPIO

Si el conjunto A es subconjunto del conjunto B, y por lo menos un elemento

 de B no pertenece a A entonces se dice que A es subconjunto propio de B.

Ejemplo.

A={ x, y. z }    B={ a, x, u }

A es subconjunto de B

CONJUNTOS IGUALES.

Se da cuando dos o mas conjuntos contienen iguales elementos por Ejemplo.

                                                        

                                             A= {x Є N / 3 < x < 10} = {4, 5, 6, 7, 8, 9}

CONJUNTO POTENCIA➜ P(A).

Es aquel que esta formado por todo los subconjuntos posibles de A ,y aquel 

que esta formado por todos los subconjuntos que se encuentra en A

CARDINALIDAD DEL CONJUNTO POTENCIA 

N(P(A) = 2N(A)

Ejemplo.

A={a, b, c }

N(P(A) =2N(A) = 2x2x2 = 8

P(A) = { ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a,c},{b, c}, A}.

CONJUNTOS DISJUNTOS.

Son disjuntos si y solo si no tenemos elementos en comun , se dice que dos 
conjunos A y B si no setiene ningun elemento en comun son disjuntos si su 
interseccion es vacia.

Elemplo.

A={1, 2, 3, 4, 5 }  

B={a,b,c,d,e}

                  

                 

            

 

CONJUNTOS INTERSECANTES.

Son aquellos que tienen elementos en comun entre A y B por lo menos un elemento en

comun, se llama asi por que su interseccion es un conjunto no vacio.

Ejemplo.

              

                   A={10,15,20,25,30,35,40,45}

                   B={3,6,9,12.15.18.21.24,27,30,45}

OPERACIONES CON CONJUNTOS.

UNION DE CONJUNTOS.➜U

la unión de dos (o más) conjuntos es una operacion que resulta en otro conjunto, 

cuyos elementos son los mismos de los conjuntos iniciales. Por ejemplo, el conjunto 

de los numeros naturales es la unión del conjunto de los números pares positivos P 

y el conjunto de los númerosimpares positivos 

Ejemplo.
A={1-1.2.3}    B={2,4,6}

                  AUB={1,-1,2,3,4,6

INTERSECCION DE CONJUNTOS.➜∩

Es la cual se intersecta entre dos o mas conjuntos ,la intersección de dos (o más) 

conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto que contiene los elementos 

comunes a los conjuntos de partida.

Ejemplo.

                          B={Luis,Ana,Ines,Beto}

                          N={Ana,Beto,Pedro}

DIFERENCIA DE CONJUNTOS.➜ – 

La  entre dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto, cuyos 

elementos son todos aquellos en el primero de los conjuntos iniciales que no 
estén en el segundo.

Ejemplo.

                          A={3,6,9,12 }

                          B={2,4,6,8,10,12 }

                          A - B ={3,9,}     

COMPLEMENTEOS DE UN CONJUNTOS.➜A΄

Es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. 

Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de elementos se están utilizando,
o de otro modo, cuál es el conjunto universal.

Ejemplo. 

                 

                          RE={a,e,i,o,u }

                          A={e,i,o}

                          B={a,e,i,u}

                          A΄={a,u}

DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS.➜ Δ

 Es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son aquellos que 

pertenecen a alguno de los conjuntos iniciales, sin pertenecer a ambos a la vez.

Ejemplo.                    

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS


CLASIFICACION DE LOS NUMEROS

LOS NUMEROS REALES R

Los números reales son los que abarcan a los números racionales y los números irracionales. Se lo representa con la letra:

CONJUNTOS NUMERICOS

NUMEROS RACIONALES. (Q)

Es todo número que puede representarse como el cociente dedos números enteros o, más precisamente, un entero y un natural positivo; es decir, una fracción común con numerador y denominador distinto de cero.

EJEMPLO.

NUMEROS IRRACIONALES. ()

Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción - el decimal sigue para siempre sin repetirse. 

EJEMPLO.

 √7 = 2,645751311064591

NUMEROS NATURALES.(N)

Los números naturales son aquellos que permiten contar loselementos de

un conjunto.

EJEMPLO.

N = {1,2,3,4,5.....}

NUMEROS ENTEROS. (Z)

Los números enteros abarca los números negativos incluyendo eL cero y los números positivos. Y se representa.

EJEMPLO. 

= {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ….}

Es el conjunto formado por los números enteros positivos, el cero y los números enteros negativos. 

Divisores y Múltiplos

Si a, b, c ∈ Z cumplen la relación c = a . b, entonces decimos:

üa y b son factores o divisores de c

üc es múltiplo de a y b.

EJEMPLO:

          10x10=100

• 20 es divisible para 2
• 12 es > que 15

Mínimo común múltiplo (m.c.m.) 

Es el menor múltiplo común distinto de cero.Para hallar el mínimo común 
múltiplo de dos o más números debemos de descomponer el número en 
factores primos.

Máximo Común Divisor (M.C.D.)

de dos o más número natural o enteros (no números con decimales) es el número 
más grande que les divide.

TIPOS DE NUMEROS DECIMAL

Para realizar,,basta dividir el numerador por el denominador, obteniendo tres 
tipos de números Decimales:
EJEMPLO:

üDecimales finitos (1,5; 2,4)

üDecimales infinitos periódicos (0,55555….)

üDecimales infinitos semiperiódicos (4,2888..)

REPRESENTACION DECIMAL

TRANFORMACIÓN DECIMALES FINITOS

Se caracterizan por tener una cantidad finita de dígitos después de la coma 
decimal,hacia la derecha.

TRANSFORMACIÓN DECIMALES INFINITOS PERIÓDICOS

Se diferencia por tener uno o más dígitos que se repiten infinita

TRANSFORMACIÓN DECIMALES INFINITOS SEMIPERIÓDICOS

Se caracterizan por tener una o más cifras antes del período, queforman lo que denomina 

el anteperíodo.

LEYES DE POTENCIAS

Todo numero elevado a 0 siempre va ser igual a 0

LEYES DE SIGNOS PARA POTENCIAS

JERARQUIA DE LAS OPERACIONES

ALGO MUY IMPORTANTE SE DEBE RESOLVER DE MAS INTERNO AL MAS

EXTERNO.

EJEMPLO:

Forma incorrecta

8 * 7 + 4

8 * 11 = 88

Forma Correcta:

5 * 3+ 3

  15 + 3 = 18

EJERCICIO GENERAL

3²+8x2+6x3+4-9/3x5-7+2³

9+8x2+6x3+4-3x5-7+8

9+16+18+4-15-7+8

55-22

33  respuesta

(12-8)+4-(20-7x3)+8+20/5

(4)+4-(20-21)+8+20/5

4+4-(-1)+8+20/5

4+4+1+8+4

21  respuesta

25/5x4x2+5-(12+4x3)

25/5x4x2+5-(12+12)

25/5x4x2+5-(24)

5x4x2+5-24

20x2+5-24

4o+5-24

45-24

21     respuesta


Expresiones Algebraicas

Es una expresión en la que se relacionan valores indeterminados con constantes y cifras

NECESARIO SABER:

•El doble o duplo de un número: 2x

•El triple de un número: 3x

•El cuádruplo de un número: 4x

•La mitad de un número: x/2

•Un tercio de un número: x/3

•Un cuarto de un número: x/4

•Un número es proporcional a 2, 3, 4...: 2x, 3x, 4x...

•Un número al cuadrado: x²

Tipos de Expresiones Algebraicas

Expresión Algebraica Racional

Es racional cuando las variables no están afectadas por la radicación.

Expresión Algebraica Irracional

Sonaquellas que tienen algunas de sus variables bajo un signo radical o con exponente racional no entero.

Expr.Algebraica Racional Entera

Es racional entera cuando la indeterminada está afectada sólo por operaciones

de suma, resta, multiplicación y potencia natural.

Expresión Algebraica Racional Fraccionaria

Es fraccionaria cuando la indeterminada aparece en algún denominador.

5/2+xy³-7

POLINOMIOS

Están constituidos por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (llamadas coeficientes)

TERMINOS

•Monomio : polinomio con un solo término.

•Binomio   : polinomio con dos términos

•Trinomio  : polinomio con tres términos

Polinomios iguales

Dos polinomios son iguales si y sólo si los coeficientes de los términos de 

igual grado lo son.

P(x)= x4 – x3 – 2x2 + x – 2    Y   Q (x)= x4 – x3 – 2x2 + x – 2

P(a)=  5x3 – x2 + x      Y    Q(a)=  5x3 – x2 + x 

P(x) =   4x3 – 2    Y   Q(x)=  4x3 – 2

Suma de Polinomios

Se agrupan los términos del mismo grado y se suman sus coeficientes.

P(x) = x²-3x+5            

Q(x) = 2x²-7x-4

x² - 3x + 5  +  2x² - 7x – 4

3x² - 10x + 1   respuesta

Propiedades de la Suma

•Asociativa

•Conmutativa

•Existencia de elemento neutro

•Existencia de elemento opuesto

Resta de Polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

•P(x). 4x5+6x4+3x2+9x+7

 Q(x).3x5-6x4-5x2-7x-10

Multiplicación de Polinomios

• Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos 
• del segundo polinomio.Se suman los monomios del mismo grado.

P(x).2a³ - 3a²b + 4ab² - 2b³

Q(x).3a² + 4ab - 5b²

División de polinomios
Consiste en hallar uno de los factores de un producto, que recibe el nombre de cociente 
dado el otro factor, llamado divisor, y el producto de ambos factores llamado dividendo.
EJEMPLO.

D(x) =  8x³ - 4x² + 2x -+7

 d(x) = 2x² + x - 1

POR EL METODO DE RUFFINI

RAZONES Y PROPORCIONES

Razón
Una razón es una comparación entre dos o más cantidades. Puede expresarse 
mediante una fracción. Si las cantidades a comparar son  a y b, la razón entre
ellas se escribe como:

USO DE LA RAZON.

• Una razón también se puede expresar como el cociente (resultado de la división) entre el antecedente y el consecuente.
• 

PROPORCIÓN

En una proporción del producto de los medios es igual al 
producto de los extremos.Es una igualdad de dos razones 
equivalentes. Se representa de la siguiente manera: 

CLASES DE PROPORCIÓN

PROPORCION DIRECTA

EJEMPLO:

Una moto que recorre a una velocidad constante, recorre 15km en 10 min
¿ Cuantos km recorrera en 25min.?

Recuerda cuando es P.Directa se realiza en CRUZ X.

KILOMETROS       MINUTOS  

          15 ⬊      10          

   x   ⬈      25    

(15) (25)=(X)(10)

375=10X

10X=375

        X=375/10

                              X= 37,5 KILOMETROS

PROPORCION INVERSA

EJEMPLO:

En una casa 8 personas arriendan un local de ropa y cada uno paga $30000

, si lo arrendaran entre 6 personas ¿ Cuanto tendria que pagar cada uno?

Recuenda que cuando es P. Inversa se realiza recto.

PERSONAS               DINERO

        8            ➜                30000 

6             ➔                X

(8) (30000) =(8) (x)

240000 = 8x

               8x = 240000

                      x = 240000 / 8

               x = 4000 $

PROPORCION COMPUESTA

EJEMPLO:

Hay 9 llaves abiertas durante durante 40 horas han consumido 200 litros de agua ¿ cuantos litros consumen 15 llaves durante 9 horas?

LLAVES      HORAS      LITROS

9              40              200

15               9               X     

200/x = 9/15

200/x = 8/3

 (200).(3) = (8).(x)

   600 = 8x

       8x = 600

           x = 600/8

                       x = 75   LITROS

ECUACIONES

es una igualdad entre dos expresiones, denominadas miembros, separadas por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos, desconocidos o incógnitas, relacionados.

.

IGUALDAD
Un enunciado en el que dos expresiones (iguales o distintas) denotan el mismo objeto matemático se llama igualdad matemática

recuerda que deben ser iguales tanto en la primera variable como en la segunda.  2=2

Propiedades de la Igualdad

Propiedad Aditiva

Propiedad Multiplicativa

PROPIEDAD ADITIVA

al sumar una misma cantidad en ambos lados, se obtiene el mismo resultado. 

2x + 5 = 11

 2x + 5 – 5 = 11 – 5

2x + 0 = 6

Propiedad Multiplicativa

Asegura que al multiplicar una misma cantidad en ambos lados, excepto 0, se

obtiene el mismo resultado.

5 x 5 = 5 x 5

20 = 20

Propiedad simétrica

se relaciona en poder cambiar el orden de los miembros sin que la igualdad se altere.

EJEMPLO.

ES DECIR: 8 - 2 = X

                            X = 8 - 2

PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DE 
PRIMER GRADO

1.Quitar paréntesis

2.Suprimir de ambos términos los miembros iguales

3.Pasar a un miembro los términos que contengan la incógnita, y al otro

miembro los números

4.Reducir  términos semejantes

5.Despejar la incógnita.

PASOS PARA RESOLVER LITERALES DE ECUACION.

          1·Leer el problema

          2·Apuntar datos

         3·Escribir la ecuación

         4·Resolver la ecuación

         5·Interpretar el resultado

        6·comprobar el resultado obtenido

         EJEMPLO:Hace 4 años la edad de  un tio era 9 veces que la de su 
         sobrino ,y dentro de 8 años sera el triple cuales son sus edades actuales.

P: Edad actual del tio          T-4=9(s-4)

S: Edad actual del sobrino  T+8=3(s+8)

t-4=9s-36  ➜  t=9s-36+4

t=9h-32

t+8=3s+24 ➜  t=3s+24-8

t=3h+16

MÉTODO DE IGUALACIÓN:                                    

9h-32 = 3h+16                                      p=9h-32

9h-3h = 16+32                                      p=3h+16

6h = 48                                                 p=9(8)-32

h=48/6  ➜  8                                        p=72-32  ➜  40

        ECUACIONES CON FRACCIONES.

EXISTEN  dos tipos de métodos:

Método de Proporciones

Método de No-Proporciones

Método de Proporciones

Una proporción es una igualdad  entre dos razones , y aparece

 frecuentemente en notación fraccionaria.

 Ejemplo: 

 5(X-1) = 3(X+2)

5X-5 = 3X+6

5X - 3X = 6+5

2X = 11

X = 11/2

METODO DE NO-PROPORCIONES

Se aplica cuando la ecuación no es una proporción.
se halla el MCD.

5   -   2x   =   9

                                       3

    5   -   2x   =   9(3)

                                    15-2x = 27

                                        -2x = 27-15

                                        -2x =12

                                           x = 12/-2

                                           x=-6
Ecuación Identidad
Es aquella ecuación tiene solución infinita o la solución son  
todos los Reales   

        Ecuación Inconsistente

              Es la cual no tiene solución en el ejercicio. 

          ECUACIÓN CUADRÁTICA O DE SEGUNDO 
GRADO

           Con coeficientes reales tiene o bien dos soluciones reales distintas o una                    sola solución real multiplicidad de 2.   

     

         1) Cuando b = 0    

               

                Se resuelve por la propiedad de primer grado 

               2) Cuando   C = 0 

                     ax² + bx = 0

ECUACIÓN CUADRÁTICA COMPLETA 

        FORMULA:

      Ecuación con trinomio cuadrado perfecto

           2) Cuando   C = 0    

  x²-6+9 = 0

 ( x- 3) (x-3) = 0

x-3 = 0   x-3 = 0

    x = 3      x = 3

     Discriminante de la Ecuación cuadrática 

        Es una cierta expresión de los coeficientes de dicho polinomio que es igual 
        a cero si y solo siel polinomio tiene raíces múltiples en el plano complejo.

     > 0   ➜ TIENE DOS SOLUCIONES REALES DISTINTAS

     = 0   ➜ TIENE UNA SOLUCIÓN DOBLE

     < 0   ➜ NO TIENE SOLUCIÓN

                                            EJERCICIO GENERAL 

                                                         ax²-3x-4 =0

INTERVALOS Y DESIGUALAIONES

INTERVALOS:son subconjuntos de los números reales que se pueden 

representar gráficamente en la recta numérica.

INTERVALO ABIERTO.

Conjunto que sólo contiene los números entre dos números dados (puntos finales),

no a los puntos finales. 

INTERVALO CERRADO.

Conjunto que contiene en sí sus puntos extremos y todos los números apropiados. 

INTERVALO SEMI ABIERTO.

Es el conjunto de números reales comprendidos entre dos determinados: a y b, 

llamados extremos delintervalo. 

INTERVALO SEMI CERRADO.

INTERVALOS INDETERMINADOS

MAYOR O IGUAL QUE.

MENOR O IGUAL QUE.

Recuerda que el infinito nunca se incluye dentro de unintervalo y además nunca se 
escribe en la desigualdad.
Desigualdades
Es una relación de orden que se da entre dos valores cuando éstos son distintos (en caso de
ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).

INECUACIONES

en la que hay una o mas cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se

verifica para determinados valores de las incógnitas. 

EJEMPLO.

x  <  2     à ( - oo , 2 )

x  ≥  - 4  à [ - 4 , + oo )

       INECUACIONES CON UNA INCOGNITA

      Intervienen incógnitas o valores desconocidos

•EJEMPLO.

•x  <  7        x es siempre MENOR que 7

•x  ≤  -8       x es MENOR o IGUAL que -8

•x  >  1        x es siempre MAYOR que 1

•x  ≥  -4      x es MAYOR o IGUAL que -4

      INECUACIONES LINEALES.

           Es una desigualdad en la que intervienen una o más incógnitas, y es de primer grado 

           cuando la potencias más grande con la que se encuentra la incógnita es igual a uno.

    INECUACIONES CUADRATICAS.

      Una inecuación cuadrática o de segundo grado es una desigualdad donde la,

      variabltiene exponente 2 y es en su forma general de una de las formas.

      ax2 + bx + c ≥ 0

   EJERCICIO GENERAL

7x² + 21x − 28 < 0

x² +3x − 4 < 0

x² +3x − 4 = 0

P(−6) = (−6)² +3 · (−6)− 4 > 0

P(0) = 0² +3 · 0 − 4 < 0

P(3) = 3² +3 · 3 − 4 > 0

(−4, 1)

EJERCICIO 2

P(−3) = 4 · (−3)² − 16 > 0

P(0) = 4 · 0 ² − 16 < 0

P(3) = 4 · 3 ² − 16 > 0

EJERCICIO 3

 Factorizando  por factor común se tiene:

 

Resolviendo esta inecuación:

Por lo que el conjunto solución de  es  o sea : S =  


SUCESIONES

Es un conjunto ordenado de objetos matemáticos,a números. Cada uno de ellos es denominado término de la sucesión y al número de elementos 

SU NOTACION:

TIPOS DE SUCESIONES:

SUCESION ARITMETICA:

Es una sucesión de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante.

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...

Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos. 

La regla es x_n = 3n-2

SUCESION GEOMRTRICA:

En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por un número fijo.

3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ...

Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos términos.
La regla es x_n = 3ⁿ

EJEMPLOS DE SUCESIONES:

{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita

{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás

{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en order alfabético

{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"

SU ORDEN:

Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y el mismo valor sí puede aparecer muchas veces).

SU REGLA:

Sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.

SUCESIONES ESPECIALES:

Números triangulares

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...

 se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo. 

Pero es más fácil usar la regla

x_n = n(n+1)/2

Ejemplo:

• El quinto número triangular es x₅ = 5(5+1)/2 = 15,
• y el sexto es x₆ = 6(6+1)/2 = 21

Números cuadrados

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición. 

La regla es x_n = n²

NUMEROS CUBICOS

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...

El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición. 

La regla es x_n = n³

NUNEMORS DE FIBONACCI

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

El siguiente número se calcula sumando los dos que están antes de él. 

El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1) 

El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13)

La regla es x_n = x_n-1 + x_n-2

Esta regla es interesante porque depende de los valores de los términos anteriores.

Por ejemplo el 6º término se calcularía así:

x₆ = x_6-1 + x_6-2 = x₅ + x₄ = 5 + 3 = 8

EJERCICIO GENERAl

EJEMPLO 2

EJEMPLO 3